a) 2.y² - 4y

 = 2y.(y - 2)

Để biểu thức trên dương thì y và y - 2 cùng âm hoặc cùng dương

+ Nếu y và y - 2 cùng âm thì y < 0; y - 2 < 0

=> y < 0; y < 2 => y < 0 thỏa mãn đề bài

+ Nếu y và y - 2 cùng dương thì y > 0; y - 2 > 0

=> y > 0; y > 2 => y > 2 thỏa mãn đề bài

Vậy y < 0 hoặc y > 2 thỏa mãn đề bài

b) 5.(3y + 1).(4y - 3)

Để biểu thức trên đương thì 3y + 1 và 4y - 3 cùng âm hoặc cùng dương

+ Nếu 3y + 1 và 4y - 3 cùng âm thì 3y + 1 < 0; 4y - 3 < 0

=> 3y < -1; 4y < 3

=> y < 0; y < 1 => y < 0 thỏa mãn đề bài

+ Nếu 3y + 1 và 4y - 3 cùng dương thì 3y + 1 > 0; 4y - 1 > 0

=> 3y > -1; 4y > 1

=> y > -1; y > 0 => y > 0 thỏa mãn đề bài

Vậy y < 0 hoặc y > 0 thỏa mãn đề bài

2/ Ta có: 1/a - 1/b = b/a.b -  a/a.b = b-a/a.b = 1/a.1/b = 1/a.b
=> b - a = 1

Vậy a và b là 2 số nguyên liên tiếp (b hơn a 1 đơn vị) thỏa mãn đề bài

a.

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+6x+3=-2mx-m^2\Leftrightarrow x^2+2\left(m+3\right)x+m^2+3=0\)

\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m^2+3\right)=6\left(m+1\right)>0\Rightarrow m>-1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\left(m+3\right)\\x_Ax_B=m^2+3\end{matrix}\right.\)

\(P=10\left(m+3\right)-2\left(m^2+3\right)=-2m^2+10m+24\)

\(P=-2\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{73}{2}\le\dfrac{73}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{73}{2}\) khi \(m=\dfrac{5}{2}\)

b.

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^2-2x-2=x+m\Leftrightarrow x^2-3x-m-2=0\)

\(\Delta=9+4\left(m+2\right)>0\Rightarrow m>-\dfrac{17}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=3\\x_Ax_B=-m-2\end{matrix}\right.\)

Đồng thời \(y_A=x_A+m\) ; \(y_B=x_B+m\)

\(P=OA^2+OB^2=x_A^2+y_A^2+x_B^2+y_B^2\)

\(=x_A^2+x_B^2+\left(x_A+m\right)^2+\left(x_B+m\right)^2\)

\(=2\left(x_A^2+x_B^2\right)+2m\left(x_A+x_B\right)+2m^2\)

\(=2\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B+2m\left(x_A+x_B\right)+2m^2\)

\(=18-4\left(-m-2\right)+6m+2m^2\)

\(=2m^2+10m+26=2\left(m+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{27}{2}\ge\dfrac{27}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\dfrac{5}{2}\)

Trả lời:

Bài 1: a,

\(A=\left|x-1\right|+3\)

Vì \(\left|x-1\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+3\ge3\forall x\)

Dấu = xảy ra khi x - 1 = 0 \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy GTNN của A = 3 khi x = 1

\(B=\left|x-7\right|-4\)

Vì \(\left|x-7\right|\ge0\forall x\)

  \(\Rightarrow\left|x-7\right|-4\ge-4\forall x\)

Dấu = xảy ra khi x - 7 = 0 \(\Leftrightarrow x=7\)

Vậy GTNN của B = -4 khi x = 7

b, \(C=-\left|x-3\right|+2\)

Vì \(\left|x-3\right|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left|x-3\right|\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left|x-3\right|+2\le2\forall x\)

Dấu = xảy ra khi x - 3 = 0 \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy GTLN của C = 2 khi x = 3

\(a,\dfrac{y-1}{y-2}-\dfrac{y+3}{y-4}=\dfrac{-2}{\left(y-2\right)\left(y-4\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(y-1\right)\left(y-4\right)-\left(y+3\right)\left(y-2\right)+2}{\left(y-2\right)\left(y-4\right)}=0\)\(\left(dkxd:y\ne4;2\right)\)

\(\Leftrightarrow y^2-4y-y+4-y^2+2y-3y+6+2=0\)

\(\Leftrightarrow-6y+12=0\)

\(\Leftrightarrow y=2\)\(\left(ktm\right)\)

Vậy ko có bất kì giá trị y nào để 2 biểu thức bằng nhau

\(b,\dfrac{8y}{y-7}+\dfrac{1}{7-y}=8\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{8y}{y-7}-\dfrac{1}{y-7}=8\)\(\left(dkxd:y\ne7\right)\)

\(\Leftrightarrow8y-1-8\left(y-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow8y-1-8y+56=0\)(Vô lý)

Vậy ko có bất kì giá trị y nào để biểu thức có giá trị = 8

Đường thẳng y = (m – 2)x + n (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4). Khi đó tọa độ các điểm A, B thỏa mãn (d), nghĩa là:

2 = (m – 2)(-1) + n (1)

và -4 = (m – 2).3 + n (2)

Rút gọn hai phương trình (1) và (2), ta được

-m + n = 0; (1’)

3m + n = 2. (2’)

Từ (1’) suy ra n = m. Thay vào (2’), ta có 3m + 3 = 2 suy ra m = 1/2.

Trả lời: Khi m = n = 1/2 thì (d) đi qua hai điểm A và B đã cho.

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}y\ne2\\y\ne4\end{cases}}\)

\(\frac{y-1}{y-2}-\frac{3+y}{y-4}=\frac{-2}{\left(y-2\right)\left(y-4\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-1\right)\left(y-4\right)-\left(3+y\right)\left(y-2\right)}{\left(y-2\right)\left(y-4\right)}=\frac{-2}{\left(y-2\right)\left(y-4\right)}\)

\(\Leftrightarrow y^2-5y+4-y^2-y+6=-2\)

\(\Leftrightarrow-6y+10=-2\)

\(\Leftrightarrow-6y+12=0\)

\(\Leftrightarrow y=2\)(KTM)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\varnothing\)